Les Lutins thermiques et la conservation de l'énergie

Le site Wikipédia sur la loi de conservation de l’énergie évoque les multiples aspects de cette loi fondamentale. Le porte-parole des Lutins thermiques l’aborde ici dans le cadre de la consommation d’énergie des logements en étudiant le système formé par un immeuble et sa chaufferie en régime transitoire puis en régime établi. Une étude importante selon lui puisqu’elle a permis de mieux quantifier les ENR pouvant et devant être générés par le chauffage thermodynamique pour assurer notre confort. Il pressent que notre plus grande maison, la terre chauffée par le soleil pourrait bien avoir en ce qui concerne la théorie et les fonctions de transfert un comportement comparable à l’étude qui suit. Une étude qui concerne l’immeuble où il habite. Pour ce qui concerne notre 2^ème maison, la terre, Il préfère reporter l’attention du lecteur vers l’étude faite sur le réchauffement climatique réalisée par Wikipédia.

A) En régime transitoire

Trop souvent les études thermiques effectuées ne sont que partielles et font intervenir soit la chaleur spécifique, soit les effets de paroi mais rarement les deux paramètres simultanément. En régime transitoire la puissance de la chaudière est principalement utilisée pour réchauffer l'air ambiant à l'intérieur de l'immeuble. Au fur et à mesure que cet air se réchauffe une partie d'autant plus grande de la puissance consommée est dissipée vers l'extérieur par conduction au travers des murs, des fenêtres, et des plafonds terrasses. Lorsque l'on atteint le régime permanent la température de l'air ambiant n'augmente plus et la puissance fournie par la chaudière est entièrement dissipée vers l'extérieur. Le principe de la conservation de l'énergie permet d'écrire que pendant un temps dt l'énergie fournie par la chaudière a été utilisée à deux fins:

- La première a servi à élever de dθ la température du volume d'air V soit V_a c_a dθ c_a étant la chaleur spécifique de l'air exprimée en joule/m³ et °C sensiblement égale à 10⁴ joule/m³ et °C

- La deuxième a été rayonnée vers l'extérieur et a pour valeur ζ S θ dt
(ζ étant le coefficient de déperdition des parois exprimé en Watt/m² °C et S la surface des parois)

On a donc P étant la puissance de la chaudière en watt

Pdt = Vc_a dθ + ζ S θ dt 1)

En divisant par dt on a : P = Vc_a x dθ/dt + ζ S θ soit en utilisant la transformée de Laplace p

P = Vc_a p θ + ζ S θ et θ/P = 1/ ( ζ S (1+t p) 2)

Avec une constante de temps t = Vc_a / ζ S 3)

Le comportement thermique de notre immeuble en fonction du temps est donc régit par une fonction linéaire du premier ordre. Si l’on coupe la chaudière en hiver alors qu’il fait une température extérieure de 0°C (échelon de Dirac) on peut donc savoir qu’elle est la variation de la température de l’air dans les appartements en fonction du temps θ = f(t).

La fonction est exponentielle :

- Variation de la température dans les appartements lorsqu'on arrête la chaudière q = q_o e ^-At avec A = 1/t

- Temps nécessaire pour élever la température de q

t = - t ln (1- (4,18 z S q /P))

L’équation 1) devient P = (V_a c_a+ m_b c_b) p θ + ζ S θ m_b étant la masse des planchers en béton avec une nouvelle constante de temps nettement plus importante.

Image de l’inertie thermique du bâtiment, la constante de temps donné par la formule 3) peut être considérablement majorée en raison de la quantité d'énergie très importante contenue dans les planchers lorsqu’ils sont en béton ainsi que par les murs lorsque l’isolation est prévue par l’extérieure.

Lorsque l’isolation du bâtiment est prévue par l'intérieur les murs n’ont pas d'influence sur la constante de temps, la valeur t_b étant négligeable

t = t_a + t_b = V_a c_a / ζ S + m_b c_b / ζ S = (V_a c_{a +} m_b c_b ) / ζ S 4)

Inertie thermique

La constante de temps ci-dessus est importante. Elle permet de mieux évaluer l'inertie thermique du bâtiment qui peut être très légère, légère, moyenne, importante ou très importante. Cette inertie thermique joue surtout un rôle sur le confort des occupants. Avec une inertie importante la chaleur stockée dans les parois, sera restituée sitôt que la température de la pièce commencera à être inférieure à celles des parois d'où une économie d'énergie par récupération.

Application numérique simplifiée

Hypothèses

Notre grand immeuble datant de 1968 a été assez bien isolé pour l’époque mais est très en retard par rapport aux normes actuelles.

Il consommait bon an mal an 150 m³ de fioul par an avant le passage au gaz pour assurer le chauffage et l’ECS*, soit, sur la base de l’équivalent calorifique de un litre de fuel (10 kWh) 1 500 000 kWh par an. Pour simplifier disons qu'il comprend une centaine de petits appartements de 60m² soit une surface habitable totale approximative de 6 000 m². Cet immeuble, pourtant correctement isolé pour l’époque avait un coefficient moyen de déperdition annuel par m² habitable de l’ordre de 250 kWh, nettement supérieur aux normes actuelles (80 kWh en 2000 et évoluant vers 50 en 2020).. L'examen des courbes de consommation en fioul de l'hiver 2004-2005 serait encore plus instructive si nous avions la courbe de l'évolution des températures extérieures pendant cet hiver particulier.

Courbes de consommation en fioul de notre immeuble (Puissances calculées sur la base de l'équivalent calorifique de un litre de fioul (10 kWh). Le comptable du syndic détient généralement ces informations

Il faut savoir que Météo France garde dans ses bases de données ce type d'information. Il faut donc payer. Je ne vais pas aux manifs mais je me rappelle d’une pancarte qui avait retenu mon attention ; "Nous ne voulons plus payer pour être informé". Il faut dire que la dépense n’est pas très élevée en regard de l’importance de l’information (coût 43 €) En supposant que la température entre novembre 2004 et mars 2005 ait été de 0°C et que la puissance moyenne affectée au chauffage n'ait été que de 60% de notre consommation totale soit 150 kW cela conduit à une consommation en kWh sur 5 mois de 150 x 5 x 30 x 24 = 540 000 kWh et à une déperdition moyenne ζ en watt/m² et °C de 150 000 / (4500 x 20) = 1,66 watt* / m² et °C compte tenu de la surface totale des parois (terrasses, murs, surfaces vitrées et sous sol).

S en m² estimé de l’ordre de 4500 m² ce qui n'est pas trop mauvais. En l’absence du relevé Météo France l'incertitude sur ζ est importante :

^* Fourchette basse avec une température extérieure de -5°C : 1,3 watt / m² et °C

Fourchette haute avec une température extérieure de +5°C : 2,1 watt / m² et °C

1) Gradient maximum de montée en température en régime transitoire.

Pour l'obtenir, il suffit d'écrire que l'énergie fournie par la chaudière au début de la chauffe part uniquement en élévation de la température de l'air (température dans les appartements suffisamment proche de la température extérieure pour que la déperdition par les murs soit négligeable). Soit P dt = V c dθ ou dθ / dt = P/ Vc = 150 10^3 / 15 600 x 1250 = 0,0077 °C/s (0,46 °C/mn) soit une constante de temps du transitoire t1 égale à 20/0,0077 = 2600 s. Si la chaudière est mise en marche alors que la température dans les appartements est égale à la température extérieure de 0°C la température maximum de 20°C dans les appartements est sensiblement atteinte après un temps de montée en température de 4 t1 soit après environ 3h.

La connaissance de la constante de temps du transitoire t =Vc* /ζ S = 2600 s permet de recalculer le coefficient de déperdition moyen des parois

ζ₁ = Vc / t S = (15 600 x 1250) / (2600 x 4700 ) » 1,6 watt /m² et °C

^* Pour info : Densité de l’air sec à la pression atmosphérique : environ 1,25 kg/m³

2) Gradient maximum de chute de température lorsque l'on arrête la chaudière (régime transitoire)

21 En tenant compte uniquement de la chaleur spécifique de l’air

Pour l'obtenir il suffit d'écrire que lorsque l'on coupe la chaudière alors que l'on avait atteint la température maximum de stabilisation θmax=20°C dans les appartements, l'énergie dissipée par les murs continue à être égale momentanément à celle qui était fournie par la chaudière avant la coupure. Soit en faisant P = 0 dans la formule 1). Vc dθ + ζ S θmax dt = 0 soit  dθ / dt = - ζ S θmax / Vc = - 1,6 x 4700 x 20 / 15600 x 1250 = - 0,0077 °C/s. On retrouve (en valeur absolue) le même gradient maximum au début du refroidissement. Ce résultat est d’ailleurs conforme aux deux formules 2) et 3), la constante de temps du transitoire étant la même que l’on soit en phase de réchauffement ou de refroidissement. Au bout d'un temps t= t soit en moins d'une heure, la température dans les appartements aurait chuté de plus de 10°C ce qui laisserait bien peu de temps pour réparer la chaudière ! En pratique l'inertie thermique des planchers en béton et à degré moindre des murs augmentent beaucoup ce temps.

22 En tenant compte de la chaleur spécifique des planchers en béton

La constante de temps tenant compte de l’inertie thermique du béton s'obtient à partir de la formule 4) t = (V_a c_a+ m_b c_b) / ζ S = t₁ + t₂

Elle montre que la constante de temps avant isolation de t_a = 2600 s avant isolation est majorée de t _b= m_b c_b / ζ S

Soit   ζ_b= (2 880 000 x 840)/(1,6 x 4700) = 321 000 secondes La nouvelle constante de temps de l'ordre de 90 heures est beaucoup plus confortable.

Nota : Le temps mis pour que la température chute de 3°C dans les appartements avec les mêmes conditions de température extérieure et intérieure lorsque l'on arrête la chaudière devient égal à :

(321 000 x 3)/ 20 = 48 150 secondes soit environ 13 h. La constante de temps thermique d'une habitation est aussi influencée par le type d’isolation prévue pour les murs. Lorsque l'on isole l'habitation par l'intérieur, l’influence de l’inertie thermique des murs est négligeable, ceux-ci étant en effet pratiquement à la même température que la température extérieure. Si l'on procède à une double isolation inter/exter de qualité équivalente pour chacune d'elle on comprend intuitivement que le béton se trouve à la moitié de la température de la pièce. Lorsque l'on coupe la chaudière on profite alors de l'inertie thermique du béton et la constante de temps de l’immeuble augmente encore un peu. Lorsque l’immeuble n’est pas isolé les murs emmagasinent sensiblement la même quantité d’énergie que dans le cas de l’isolation double. Avec une isolation par l'extérieur, les murs en béton sont pratiquement à la température de la pièce et ils emmagasinent une quantité de chaleur plus importante. L'inertie thermique des murs joue alors un rôle plus important sur le comportement thermique de l’habitation et lorsque la chaudière s'arrête, la température dans les pièces chute un peu moins rapidement. La plupart du temps, les planchers haut (terrasses) et bas (plafonds des caves) peuvent être considérés comme des murs ayant une isolation par l'extérieur du type 3).

Conclusion de l’étude en régime transitoire

Cette étude théorique du comportement thermique en régime transitoire d'un immeuble et de sa chaufferie permet de comprendre que les radiateurs en raison de leur faible inertie thermique réchauffent l'air ambiant avant de réchauffer les planchers en béton intérieurs au bâti. Du fait de cette inertie thermique plus faible, ils sont mieux à même de maintenir constante la température de l'air dans les appartements que les planchers chauffant lorsque le besoin thermique augmente par exemple du fait d'un refroidissement brutal de l'air à l'extérieur du bâtiment. Alors qu'un circuit à radiateur peut s'accommoder d'une régulation simplifiée sans prises de température extérieure au bâtiment, des émetteurs thermiques constitués par des planchers chauffant en béton peuvent nécessiter la pose de cette prise d'information supplémentaire afin de mieux anticiper une diminution soudaine de la température extérieure.

A l'inverse, cette étude permet aussi de comprendre qu'une fois atteinte leur température de stabilisation les planchers en béton en raison de leur Inertie thermique importante favorise le maintien de la température de consigne, et ceci qu 'ils soient chauffant ou non. Ils autorisent aussi du fait de cette importante inertie thermique de couper temporairement le chauffage dans un cycle de nuit au bénéfice de l'ECS sans que la température dans les pièces de vie ne chute d'une façon significative.

La loi de conservation de l'énergie aurait aussi pu être utilisée pour déterminer comment la température dans les circuits se modifie en régime transitoire compte tenu des volumes d’eau contenue dans les ballons tampons et dans les tuyauteries. Si la puissance prélevée dans le ballon est inférieure à la puissance apportée par la génération, la température dans le ballon augmente et inversement si le besoin en eau chaude est important avec une génération qui a du mal à suivre, la température dans le ballon diminue. La loi de conservation de l’énergie permet de dire que si la génération apporte une puissance Pg au ballon alors que ce dernier délivre une puissance thermique Pc vers le chauffage ou l’ECS , la différence Pg - Pc est égale à la vitesse à laquelle l'énergie interne m c dT/dt dans le ballon tampon se modifie. Le calcul montre que les variations de température sont également relativement lentes et inférieures à 1°C par minute autorisant les commutations décrites dans l’optimisation des performances de la pompe à chaleur . (Voir page 37 d’un exemple pratique de rénovation thermique)

B) En régime établi

La loi de conservation de l’énergie peut aussi être utilisée pour définir la répartition des énergies positives et négatives générées annuellement par ce même système en régime établi. Si l’on isole le système formé par l’immeuble et sa chaufferie du milieu extérieur, l’énergie que perd le système par les déperditions dans le bâti est comptée négativement et ce qu’il reçoit, l’énergie électrique d’entrainement du compresseur ainsi que celle provenant de l’environnement est compté positivement. Prenons l’exemple d’un immeuble consommant bon an mal an 100 m3 de fioul par an pour assurer le chauffage et la fourniture d’eau chaude sanitaire. En passant au chauffage gaz et en évoluant vers la condensation avec des gaz brulés ayant une température plus proche de 40°C que de 150°C les performances sont déjà améliorées de 10%

(On estime l’amélioration des performances proche de 1% par 15°C de baisse de température sur ces gaz)

Les zones colorées correspondent à l’énergie gratuite prélevée dans l’environnement

Les zones hachurées correspondent à l’énergie électrique payée par la copropriété

Les surfaces colorées des figures de droites sont représentatives de l’énergie renouvelable prélevée dans l’environnement (énergie = puissance x temps)

Conservation  énergie en isolant fluide caloporteur

La loi de conservation de l’énergie peut aussi être utilisée pour définir la répartition des énergies positives et négatives générées par le fluide caloporteur en régime établi. Si l’on isole le fluide caloporteur au cours d’un cycle l’énergie émise par le fluide caloporteur et perdue par l’immeuble vers le milieu extérieur en raison des déperditions dans le bâti est comptée négativement et ce qu’il reçoit, l’énergie électrique d’entrainement du compresseur ainsi que celle provenant de l’environnement est compté positivement.

Appliquons ce principe de la conservation de l’énergie aux étapes 2 et 3 lorsque la puissance à fournir est maximum :

- Etape 2  la PAC aérothermique fonctionnant avec de l'air à +5°C

d'après le principe de conservation de l'énergie, l'énergie reçue par le fluide caloporteur pendant une heure à savoir l'apport thermique Wf  provenant de la source froide (l'air à +5°C) majoré de l'énergie mécanique fourni au compresseur par voie électrique et convertie en chaleur We  à savoir 120 + 60 = 180 kWh   est égale au signe près à l'énergie Wc qu'il émet à la source chaude.
On a Wf + We - Wc = 0 avec un COP = Wc/We= 180/60=3

- Etape 3  la PAC aquathermique fonctionnant avec de l'eau à +10°C

d'après le principe de conservation de l'énergie, l'énergie reçue par le fluide caloporteur pendant une heure à savoir l'apport thermique Wf  provenant de la source froide (l'eau de la nappe phréatique à +10°C) majoré de l'énergie mécanique fourni au compresseur par voie électrique et convertie en chaleur We  à savoir 270 + 90 = 360 kWh   est égale au signe près à l'énergie Wc qu'il émet à la source chaude  

On a Wc + Wf - Wc = 0. avec un COP = Wc/We= 360 /90=4

L'amélioration du COP s'explique par une température plus élevée à la source froide 

Pour un besoin thermique pendant la période de chauffe de 700 000 kWh*

Etape 1) L'énergie perdue par déperdition dans les parois (0,7 MWh) est égale à l'énergie thermique produite par la chaufferie par combustion

Etape 2) L'énergie perdue par déperdition dans les parois ( 0,7MW) est égale à l'énergie thermique produite par la chaufferie par combustion pendant la période de chauffe (0,4 MWh) majorée de l'énergie produite par le complément thermodynamique (COP 3) générée en mi - saison, ce complément comprenant deux termes:

- l'énergie électrique d'entraînement du compresseur transformée en chaleur lors de la compression du fluide frigorigène (0,1 MWh)

- l'énergie renouvelable prélevée dans l'air environnant obtenue en le refroidissant (0,2 MWh)

On retrouve bien 0,4 + 0,2 + 0,1 - 0,7 = 0

Etape 3) L'énergie perdue par déperdition dans les parois ( 0,7MW) est égale à la somme des énergies renouvelables prélevées dans l'environnement :

- dans l'eau de la nappe libre ou dans la rivière pendant la période de chauffe (0,3MWh)

- dans l'air environnant hors période de chauffe (0,2MWh), majorée de la somme des énergies électriques d'entraînement du compresseur transformée en chaleur lors de la compression du fluide frigorigène pendant la période de chauffe (0,1 MWh) majorée de celle nécessaire à l'entraînement de ce même compresseur en mi saison (0,1 MWh) On retrouve bien 0,3 + 0,2 + 0,1 + 0,1 - 0,7 = 0

Ceci avec un COP de 4 pendant la période de chauffe avec l'eau et une COP de 3 sensiblement inférieur en mi saison avec l'air

* Après le passage au gaz la consommation pour le chauffage et l’ECS s’est établie pour cet immeuble appelé le « cas pratique » dans mon livre sur l’énergie à 800 000 kWh au lieu de 1 500 000 kWh. Cela suite à une véritable débauche d’énergie provoquée par une régulation déficiente. Une débauche d’énergie d’autant plus importante qu’un passage à la chaufferie hybride gaz-électricité aurait pu il y a une dizaine d’années réduire la consommation d’énergie à environ 320 000 kWh (sensiblement moitié gaz, moitié électricité)